Factorisation d'un polynôme (1) - Corrigé

Énoncé

On note $P$ le polynôme défini sur $\mathbb{C}$ par $P(z)=2z^3-8z^2+z-4$ .

1. Montrer que $4$ est racine de $P$ .

2. En déduire une factorisation de $P$ .

Solution

1. $P(4)=2\times 4^3-8\times 4^2+4-4=0$ donc $4$ est racine de $P$ .

2. Méthode 1

$P$ est de degré $3$ et $4$ est racine de $P$ . Soit donc $a,b$ et $c$ des réels tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $P(z)=(z-4)(a{z}^2+bz+c)$ .

On a pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $(z-4)(a{z}^2+bz+c)=a{z}^3+b{z}^2+cz-4a{z}^2-4bz-4c=a{z}^3+(b-4a)z^2+(c-4b)z-4c$

Donc pour que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $P(z)=(z-4)(a{z}^2+bz+c)$ , il suffit (et il faut) que :
$\{\begin{array}{l}a=2\\ b-4a=-8\\ c-4b=1\\ -4c=-4\end{array}$

Or, $\{\begin{array}{l}a=2\\ b-4a=-8\\ c-4b=1\\ -4c=-4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-8+4a\\ 4b=c-1\\ c=1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\\ c=1\end{array}$ .

On a donc $P(z)=(z-4)(2z^2+1)$ .

Méthode 2

On adapte la présentation de la division euclidienne pour les entiers :

On a donc  $2z^3-8z^2+z-4=(z-4)(2z^2+1)$ ,
donc  $P(z)=(z-4)(2z^2+1)$ .